Question

（文）等差數列{a_n}中，首項a₁=1，公差d≠0，已知數列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比數，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求數列{a_n}，{k_n}的通項公式；
（2）當n∈N⁺，n≥2時，求和：Sn=

a1

2k1-1

+

a2

2k2-1

+…+

an

2kn-1

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，有a₂²=a₁•a₅，計算可得等差數列的公差，又由首項a₁=1，可得數列{a_n}的通項公式，結合題意，可得等比數列ak1，ak2，ak3，…，akn，…的公比q=

a2

a1

=3，進而可得akn=3n-1，根據{a_n}的通項公式可得2k_n-1=3^n-1，進而可得{k_n}的通項公式，
（2）由（1）的結論，代入數據可得Sn=

1

30

+

3

31

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

①，由錯位相減法可得答案．

解答：解：（1）a₂²=a₁•a₅⇒（1+d）²=1•（1+4d）⇒d=2，
∴a_n=2n-1，
∴akn=2kn-1，
又數列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比數列，則公比q=

a2

a1

=3，所以akn=3n-1，
∴2kn-1=3n-1⇒kn=

3n-1+1

2

，
（2）Sn=

1

30

+

3

31

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

①
①×

1

3

可得：

1

3

Sn=

1

31

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

②
①-②，可得：

2

3

Sn=1+

2

31

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=1+2×

1 3 - 1 3n

2 3

-

2n-1

3n

=2-

2n+2

3n

所以Sn=3-

n+1

3n-1

點評：本題考查等比數列的性質以及錯位相減法的應用，錯位相減法是重要的數列求和方法，需要熟練掌握．