Question

如圖所示，四邊形OABP是平行四邊形，過點P的直線與射線OA、OB分別相交于點M、N，若 

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

（1）利用

NM

∥

MP

，把y用x表示出來（即求y=f（x）的解析式）；
（2）設數列{a_n}的首項a₁=1，前 n項和S_n滿足：S_n=f（S_n-1）（n≥2），求數列{a_n}通項公式．

Answer 1

分析：（1）用

OA

，

OB

分別表示

NM

，

MP

，再利用向量共線的條件，即可得到結論；
（2）當n≥2時，由S_n=f（S_n-1）=

Sn-1

Sn-1+1

，則

1

Sn

-

1

Sn-1

=1，可得數列{

1

Sn

}是首項和公差都為1的等差數列，由此即可求得數列的通項．

解答：解：（1）∵

OP

=

AB

=

OB

-

OA

，∴

MP

=

OP

-

OM

=-(1+x)

OA

+

OB

∵

NM

=

OM

-

ON

=x

OA

-y

OB

，

NM

∥

MP

，
∴x-y（1+x）=0，
∴y=

x

x+1

即函數的解析式為：f（x）=

x

x+1

（0＜x＜1）；
（2）當n≥2時，由S_n=f（S_n-1）=

Sn-1

Sn-1+1

，則

1

Sn

-

1

Sn-1

=1
又S₁=a₁=1，那么數列{

1

Sn

}是首項和公差都為1的等差數列，
則

1

Sn

=n，即S_n=

1

n

n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

n-n2

；n=1時，a₁=1
故a_n=

1，n=1 1 n-n2 ，n≥2

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查向量共線的條件，考查等差數列的證明，考查求數列的通項，屬于中檔題．