Question

已知函數.
（Ⅰ）如果函數在區間上是單調函數，求的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數，使得函數在區間內有兩個不同的零點（是自然對數的底數）？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）或；
（Ⅱ）存在，的范圍為.

試題分析：（Ⅰ）在上是單調函數，那么它導函數在恒成立；
（Ⅱ）零點的問題一般都求函數的單調區間結合函數的圖象來解決.在本題中，直接研究的圖象是比較麻煩的，故考慮轉化一下.
在區間()內有兩個不同的零點,等價于方程在區間()內有兩個不同的實根.故轉化為研究 的圖象.通過求導畫出的簡圖，結合圖象可得：
為滿足題意，只需在()內有兩個不相等的零點, 故
解此不等式即可
試題解析：解：（1）當時，在上是單調增函數，符合題意．
當時，的對稱軸方程為，
由于在上是單調函數，所以，解得或，
綜上，的取值范圍是，或．                                   4分
（2），
因在區間()內有兩個不同的零點,所以，
即方程在區間()內有兩個不同的實根.                5分
設 ，   
          7分
令，因為為正數，解得或（舍） 
當時, , 是減函數；  
當時, ，是增函數.                         8分
為滿足題意，只需在()內有兩個不相等的零點, 故
 
解得                                             12分