Question

設A是m階方陣，定義運算：A•A=A²，Aⁿ⁺¹=A^n_•A（n∈N^*），稱這一運算為矩陣的乘方．顯然矩陣的乘方滿足：對任意的m，n∈N^*，A^m•Aⁿ=A^m+n，設A=

1 1 0 1

，計算A²，A³，A⁴，并對一切正整數n，猜想Aⁿ=

 

．

Answer 1

分析：利用矩陣乘法的定義有A2=A•A =

1 1 0 1

1 1 0 1

=

1×1+1×0 1×1+1×1 0×1+1×0 0×1+1×1

=

1 2 0 1

，再利用Aⁿ⁺¹=A^n•A可求．

解答：解：A2=A•A =

1 1 0 1

1 1 0 1

=

1×1+1×0 1×1+1×1 0×1+1×0 0×1+1×1

=

1 2 0 1

，A3=A2•A=

1 2 0 1

1 1 0 1

=

1 3 0 1

，同理A4=

1 4 0 1

，猜想 An=

1 n 0 1

，
故答案為：An=

1 n 0 1

點評：本題主要考查矩陣乘法，矩陣的乘方，利用好定義、性質是解題的關鍵．