Question

在如圖的直三棱柱中，，點是的中點.

(1)求證：∥平面；
(2)求異面直線與所成的角的余弦值；
(3)求直線與平面所成角的正弦值；

Answer 1

（1）建立空間直角坐標系，利用向量證明，進而用線面平行的判定定理即可證明；
（2）
（3）

解析試題分析：因為已知直三棱柱的底面三邊分別是3、4、5，
所以兩兩互相垂直，
如圖以為坐標原點,直線分別為軸、軸、軸
建立空間直角標系，                                                     ……2分

則，，.
（1）設與的交點為，連接,則
則 
∴∥， ∵內，平面
∴∥平面 ；                                                  ……4分
（2）∵ ∴，
.                              ……6分
∴；
∴所求角的余弦值為 .                                             ……8分
（3）設平面的一個法向量，則有：
，解得，.                                    ……10分
設直線與平面所成角為. 則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.                 ……12分
（其它方法仿此酌情給分）
考點：本小題主要考查線面平行，異面直線所成的角和線面角.
點評：解決立體幾何問題，可以用判定定理和性質定理，也可以建立空間直角坐標系用向量方法證明，但是用向量方法時，也要依據相應的判定定理和性質定理，定理中需要的條件要一一列舉出來，一個也不能少.