Question

（09年豐臺(tái)區(qū)期末理）（14分）

    設(shè)橢圓M：(a＞b＞0)的離心率為，長軸長為，設(shè)過右焦點(diǎn)F傾

斜角為的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)。

       （Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）求證| AB | =；

（Ⅲ）設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB| + |CD|的最小

值。

Answer 1

解析：（Ⅰ）所求橢圓M的方程為…3分

       （Ⅱ）當(dāng)≠，設(shè)直線AB的斜率為k = tan，焦點(diǎn)F ( 3 , 0 )，則直線AB的方程為

              y = k ( x 3 )         有( 1 + 2k² )x² 12k²x + 18( k² 1 ) = 0

              設(shè)點(diǎn)A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )           有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

              |AB| = ** … 6分

              又因?yàn)?  k = tan=         代入**式得

              |AB| = ………… 8分

              當(dāng)=時(shí)，直線AB的方程為x = 3，此時(shí)|AB| =……………… 10分

              而當(dāng)=時(shí)，|AB| ==         

綜上所述       所以|AB| =

       （Ⅲ）過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，

              同理可得       |CD| == ……………………… 12分

              有|AB| + |CD| =+=

              因?yàn)閟in2∈[0，1]，所以 當(dāng)且僅當(dāng)sin2=1時(shí)，|AB|+|CD|有

最小值是  ………………………… 14分