Question

已知數列中，
（Ⅰ）求證：是等比數列，并求的通項公式；
（Ⅱ）數列滿足，數列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；；（Ⅱ）．

解析試題分析：（Ⅰ）已知數列中，，像這種分子為單項，分母為多項的遞推關系，常常采用取倒數法，即，這樣就得到的遞推關系，求證：是等比數列，只需證明等于與無關的常數即可，求的通項公式，由前面證明可知是以為首項，為公比的等比數列，故能寫出，從而可得；（Ⅱ）若不等式對一切恒成立，求的取值范圍，首先求出，而是數列的前n項和，故需求的通項公式，由，可得，這是一個等差數列與一個等比數列對應項積所組成的數列，求它的前n項和，可用錯位相減法來求得，從而求出的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）由知，，又是以為首項，為公比的等比數列，               6分
（Ⅱ），   
，   兩式相減得

                           9分

若n為偶數，則
若n為奇數，則
                           13分
考點：等比數列的判斷，數列的通項公式的求法，數列求和．