Question

某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產萬件，需另投入的成本為（單位：萬元），當年產量小于80萬件時，;當年產量不小于80萬件時，.假設每萬件該產品的售價為50萬元，且該廠當年生產的該產品能全部銷售完.
（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數關系式；
（2）年產量為多少萬件時，該廠在該產品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）；（2）100萬件，1000萬元

解析試題分析：（1）利潤銷售額成本，銷售額銷售量單價，設年產量為（萬件），當 時，銷售額，成本； 當時，銷售額，成本；（2）轉化為求的最大值即可，注意解決實際問題的基本步驟：審題、建模、解模、還原。
（1）當時，
；
當時，.
所以              6′
（2）當     8′
當時，，當且僅當，即時，等號成立，所以.                     11′
綜上，當時，取得最大值，即年產量為100萬件時，該廠在這一產品的生產中所獲利潤最大，最大利潤是1000萬元.       12′
考點：（1）求分段函數的解析式及最值；（2）基本不等式在求最值中的應用。