Question

已知a，b，c是正實數，且abc+a+c=b，設p=

2

a2+1

-

2

b2+1

+

3

c2+1

，則p的最大值為

10

3

．

Answer 1

分析：設a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈（0，

π

2

），然后將p利用同角三角函數關系進行化簡，根據條件可求出角α、β、γ的等量關系，最后利用二次函數的性質求出最值即可．

解答：解：設a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈（0，

π

2

），
則p=2cos²α-2cos²β+3cos²γ=cos2α-cos2β+3cos²γ=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos²γ．
由abc+a+c=b得b=

a+c

1-ac

即tanβ=

tanα+tanγ

1-tanαtanγ

=tan（α+γ），又α，β，γ∈（0，

π

2

），
所以β=α+γ，β-α=γ，p=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos²γ=2sin（α+β）sinγ+3cos²γ≤2sinγ+3cos²γ=

10

3

-3（sinγ-

1

3

）²≤

10

3

．
當α+β=

π

2

，sinγ=

1

3

時取等號．
所以p=

2

a2+1

-

2

b2+1

+

3

c2+1

的最大值為

10

3

故答案為：

10

3

點評：本題主要考查了基本不等式的應用，以及三角換元和同角三角函數和和差化積等公式，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．