Question

已知函數
（1）當時，求函數的單調區間;
（2）當函數自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同時，這樣的區間稱為函數的保值區間.，試問函數在上是否存在保值區間？若存在，請求出一個保值區間；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）當時，的單調增區間為；當時，的單調增區間為，減區間為；（2）不存在保值區間.

試題分析：本題主要考查函數與導數以及運用導數求單調區間、極值等數學知識和方法，考查思維能力、運算能力、分析問題解決問題的能力，考查轉化思想和分類討論思想.第一問，先對求導，令，可以看出的單調區間是由0和1斷開的，現在所求的范圍是，所以將從0斷開，分和兩部分進行討論，分別判斷的正負來決定的單調性；第二問，用反證法證明，先假設存在保值區間，先求出，再求導，因為，所以可以求出最值，即方程有兩個大于1的相異實根，下面證明函數有2個零點，通過2次求導，判斷單調性和極值確定只有一個零點，所以與有2個大于1的實根矛盾，所以假設不成立，所以不存在保值區間.
試題解析：（1）當時，，此時的單調增區間為；
當時，，
此時的單調增區間為，減區間為       4分
（2）函數在上不存在保值區間.     5分
證明如下：
假設函數存在保值區間[a,b]. ,,
因時，所以為增函數，     所以
即方程有兩個大于1的相異實根。           7分
設，
因，，所以在上單增，又，
即存在唯一的使得                        9分
當時，為減函數，當時，為增函數，
所以函數在處取得極小值。又因，
所以在區間上只有一個零點，             11分
這與方程有兩個大于1的相異實根矛盾.
所以假設不成立，即函數在上不存在保值區間.   12分