Question

已知函數f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然對數的底數，k為正數）
（I）若f（x）在x₀處取得極值，且x₀是f（x）的一個零點，求k的值；
（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在區間[

1

e

，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，由f'（x₀）=0求出x₀，代入f（x₀）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，根據k的范圍得到導函數零點的范圍，由導函數的零點對給出的區間分段，判出導函數在兩區間段內的符號，得到原函數在區間[

1

e

，1]上端點處取得最大值，通過比較兩個端點值的大小得到答案．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=elnx+

k

x

，所以f′(x)=

e

x

-

k

x2

．
由已知得f'（x₀）=0，即

e

x0

-

k

x 2 0

=0，∴x0=

k

e

又f（x₀）=0，即eln

k

e

+e=0，∴k=1；
（Ⅱ）f′(x)=

e

x

-

k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1＜k≤e，∴

1

e

≤

k

e

≤1，
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)時，f（x）單調遞減；x∈(

k

e

，1)時，f（x）單調遞增．
故fmax(x)∈{f(

1

e

)，f(1)}
又f(

1

e

)=ek-e，f(1)=k，當ek-e＞k，即

e

e-1

＜k＜e時，fmax(x)=f(

1

e

)=ek-e．
當ek-e≤k，即1＜k＜

e

e-1

時，f_max（x）=f（1）=k．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，解答的關鍵是比較端點值的大小，是中高檔題．