Question

已知函數．
（1）若，求在處的切線方程；
（2）若在上是增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）故曲線在處的切線方程為；（2）.

試題分析：（1）先將代入函數的解析式，并求出導數，然后分別求出與的值，最后利用點斜式求出切線方程；（2）將“函數在上是增函數”這一條件轉化為“不等式在上恒成立”進行求解，結合參數分離法轉化為“不等式在上恒成立”型不等式進行處理，即等價于“”，最后利用導數求出函數在上的最小值，從而得到參數的取值范圍.
試題解析：（1）當時，，則，
，，
故曲線在處的切線方程為，即；
（2）在上是增函數，則上恒成立，
，，
于是有不等式在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

故函數在處取得極小值，亦即最小值，即，所以，
即實數的取值范圍是.