Question

已知方程x²+ax+b=0，a，b為常數．
（Ⅰ）若a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求方程的解的個數ξ的期望；
（Ⅱ）若a，b在[0，2]內等可能取值，求此方程有實根的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得到基本事件總數為12，并且分別求出：當方程x²+ax+b=0沒有解時，方程x²+ax+b=0有一解時，方程x²+ax+b=0有兩解時，包含的基本事件數以及其發生的概率，進而得到分布列求出期望．
（2）由題意可得：試驗的全部結果構成區域是一個矩形區域，其面積S_Ω=2×2=4，并且寫出所求事件構成的區域以及其面積S_M=，進而求出答案．
解答：解：（1）a取集合{0，1，2}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素，
∴a、b的取值情況有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），
其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，基本事件總數為12．
當方程x²+ax+b=0沒有解時，即△=a²-4b＜0，此時a、b的取值情況有（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），包含的基本事件數為8．
當方程x²+ax+b=0有一解時，即△=a²-4b=0，此時a、b的取值情況有（0，0），（2，1），包含的基本事件數為2．
當方程x²+ax+b=0有兩解時，即△=a²-4b＞0，此時a、b的取值情況有（1，0），（2，0），包含的基本事件數為2．
由題意知用隨機變量ξ表示方程x²+ax+b=0實根的個數，所以得到ξ=0，1，2
所以=，=，=，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
p

∴ξ的數學期望為．
（2）∵a從區間[0，2]中任取一個數，b從區間[0，2]中任取一個數
則試驗的全部結果構成區域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}這是一個矩形區域，其面積S_Ω=2×2=4，
設“方程x²+ax+b=0有實根”為事件A，
則事件A構成的區域為M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a²-4b≥0}，由積分公式可得其面積S_M=．
由幾何概型的概率計算公式可得：方程有實根的概率P（A）=．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，以及幾何概率模型．