Question

如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。

（1）求軌跡的方程；
（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，一般有四步.第一步，設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，第二步，將條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，本題，兩邊取正切，轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系，第三步，化簡(jiǎn)關(guān)系式為常見方程形式，第四步，根據(jù)方程表示圖像，去掉不滿足的部分.（2）研究取值范圍，首先將表示為函數(shù)關(guān)系式.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0b/9/0ft3h.png" style="vertical-align:middle;" />等于,所以先求出，從而有
，利用直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)這一限制條件，得到m>1,且m2，這作為所求函數(shù)定義域，求出值域即為的取值范圍是
試題解析：解（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），顯然有x>0,.
當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，, ±3）
當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=,即
化簡(jiǎn)得：3x2-y2-3=0,而又經(jīng)過（2，,±3）
綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1）       5分
(2)由方程消去y，可得。（*）
由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內(nèi)，設(shè)
所以
解得，m>1,且m2
設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為，由有

所以
由m>1，且m2，有

所以的取值范圍是               12分
考點(diǎn)：直接法求軌跡方程，直線與雙曲線位置關(guān)系