Question

已知函數.
（I）求函數的單調區間；
（II）若函數上是減函數，求實數的最小值；
（III）若，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I） （II） （III）

試題分析：由已知函數的定義域均為,且.
（Ⅰ）函數,
當時,.所以函數的單調增區間是.       3分
（Ⅱ）因f(x)在上為減函數，故在上恒成立．
所以當時，．
又，
故當，即時，，所以，故
所以的最小值為.
（Ⅲ）“若，使成立”等價于
“當時，有”，
有（Ⅱ），當時，有，，
問題等價于：“當時，有”
當時，由（Ⅱ），在上為減函數.
則，故.
當時，由于在上為增函數，
故的值域為，即．
由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：
當時，，為減函數；
當時，，為增函數；
所以，=，．
所以，，與矛盾，不合題意．
綜上，.
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，同時考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導數，確定函數的單調性．