Question

如圖，四棱錐中，側面是等邊三角形，在底面等腰梯形中，，，，，為的中點，為的中點，.

（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線面平行的判定，運用傳統幾何法證明，突出考查空間想象能力.第一問，利用已知的邊長和特殊關系，證明出，，所以利用線面垂直的判定定理就會得出平面，再利用面面垂直的判定定理即可；第二問，先利用線面平行的判定定理證明∥平面，通過同位角相等可以得出，再證明平面，再通過面面平行的判定定理得到平面∥平面，所以面內的線平行平面.
試題解析：（Ⅰ）∵是等邊三角形，是的中點，
∴， ．    2分
∵在中，，，    3分
∴，∴．
在中，，    4分
∴是直角三角形．∴．
又∵，，∴平面．
又∵平面，∴平面⊥平面．    6分
（Ⅱ）取的中點，連接．

∵，點分別是的中點，∴．
又平面，平面，所以∥平面．    8分
∵點是的中點，∴，
又，∴是等邊三角形，∴．
又平面，平面，所以平面．
∵，∴平面∥平面．
∵平面，∴平面．     12分
考點：1.余弦定理；2.勾股定理；3.線面垂直的判定定理；4.面面垂直的判定定理；5.線面平行的判定定理；6.面面平行的判定定理.