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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
定義在（0，+∞）上的增函數f（x）滿足：對任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1） 的值；
（2）請舉出一個符合條件的函數f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x2-5）-f（x）＜2．
分析：（1）令x=y=1即可求出
（2）舉一底數大于1的對手函數即可．
（3）先由f（2）=1求出f（4）=2，f（x2-5）-f（x）＜2?f（x2-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
再由單調性轉化出等價不等式求解即可．
解答：解：（1）令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
（2）y=logax（a＞1）
（3）f（2）=1
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）
∴原不等式等價于f（x2-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
因為f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，所以
x2-5＜4x
x2-5＞0
x＞0

⇒
-1＜x＜5
x＜-
5
或x＞
5
x＞0
⇒
5
＜x＜5
所以原不等式解集是(
5
，5)
點評：本題考查抽象函數的解題方法：賦值法及函數單調性的應用：解不等式，難度不大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在（0，1）上的函數，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關于函數f（x）判斷正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•順義區二模）已知定義在區間[0，
3π
2
]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區間[0，
3π
2
]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數f（x），f′（x）是它的導函數，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　�。�

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