Question

已知圓C：

x=2+2cosθ y=2sinθ

(θ為參數)，直線l：

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

(t為參數)
（Ⅰ）求圓C的普通方程．若以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，寫出圓C的極坐標方程．
（ II）判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由；若相交，請求出弦長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）消去θ，得出圓C的普通方程為（x-2）²+y²=4，再化為極坐標方程即可．
（II）直線l的參數方程

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

，消去t得普通方程為3x-4y-6=0．利用直線和圓的位置關系判斷并求解．

解答：解：（Ⅰ）圓C：

x=2+2cosθ y=2sinθ

(θ為參數)即為C：

x-2=2cosθ    ① y=2sinθ        ②

①²+②²，消去θ，得出圓C的普通方程為
（x-2）²+y²=4---------（2分）
以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為
（ρcosθ-2）2+ρ²sinθ=4
化簡整理得
ρ=4cosθ---------------（5分）
（ II）直線和圓相交．
直線l：

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

(t為參數)消去t得普通方程為3x-4y-6=0．
解法一：由于直線l過圓心（2，0），-----------（6分）
所以直線與圓相交-----------------------------（8分）
弦長為4-------------------------------------------（10分）
解法二：l：3x-4y-6=0-----------（6分）
圓心到直線的距離d=

|6-6|

32+(-4)2

=0＜r，所以直線與圓相交-------------（8分）
由于直線l過圓心（2，0），所以弦長為4-------------------------------------------（10分）

點評：本題考查把極坐標方程、直角坐標方程、極坐標方程的互化，直線和圓的位置關系．屬于基礎題．