Question

已知下列4個命題：
①若f（x）在R上為減函數，則-f（x）在R上為增函數；
②若f（x）=

x2-2x-3

，那么它的單調遞增區間為[1，+∞）；
③若函數f(x)=

ax(x＞1) (4-2a)x+2(x≤1)

在R上是增函數，則a的取值范圍是1＜a＜8；
④函數f（x），g（x）在區間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數，則f（x）•g（x）在區間[-a，a]（a＞0）是偶函數；
其中正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：根據函數的單調性的運算法則，得①是真命題；根據函數的定義域的求法和復合函數的單調性，得②不正確；根據分段函數的單調性判別法則，得③不正確；根據函數奇偶性的定義和運算法則，可得④是真命題．由此不難得到本題答案．

解答：解：對于①，因為f（x）與-f（x）在同一單調區間上的單調性相反，
故由f（x）在R上為減函數，可得-f（x）在R上為增函數，可得①是真命題；
對于②，由于函數的定義域為{x|x²-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1}，
結合復合函數的單調性，得f（x）=

x2-2x-3

的單調遞增區間為[3，+∞），得②不正確；
對于③，函數f(x)=

ax(x＞1) (4-2a)x+2(x≤1)

在R上是增函數，得

a＞1 4-2a＞0 a≥6-2a

解之得a∈∅，故1＜a＜8是假命題，得③不正確；
對于④，因為f（x）、g（x）在區間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），x∈[-a，a]（a＞0）
設F（x）=f（x）•g（x），得F（-x）=f（-x）g（-x）=[-f（x）][-g（x）]=f（x）•g（x），
∴F（-x）=F（x），得f（x）•g（x）在區間[-a，a]（a＞0）是偶函數，得④正確．
故答案為：①④

點評：本題給出關于函數單調性和奇偶性的幾個命題，叫我們判斷它們的真假，著重考查了函數的奇偶性、單調性，及其運算法則等知識，屬于基礎題．