Question

（16分）已知函數是自然對數的底數）.

（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；

（2）若對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；

（3）當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：（1），所以在處的切線為

即：                          ………………………………2分

與聯立，消去得，

由知，或.        ………………………………4分

（2）

①當時，在上單調遞增，且當時，，

，故不恒成立，所以不合題意 ；………………6分

②當時，對恒成立，所以符合題意；

③當時令，得， 當時，，

當時，，故在上是單調遞減，在上是單調遞增, 所以又，，

綜上：.                 ………………………………10分

(3)當時，由（2）知，

設，則，

假設存在實數，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解，………………………………13分

令得：，因為， 所以.

令，則 ，

當是，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，,故方程 有唯一解為1，

所以存在符合條件的，且僅有一個.                ………………………………16分