Question

某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快，欲將這種食品價格控制在適當范圍內，決定對這種食品生產廠家提供政府補貼，設這種食品的市場價格為元/千克，政府補貼為 元/千克，根據市場調查，當時，這種食品市場日供應量萬千克與市場日需量萬千克近似地滿足關系:，。當市場價格稱為市場平衡價格。
（1）將政府補貼表示為市場平衡價格的函數，并求出函數的值域；
（2）為使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為每千克多少元？

Answer 1

(1) t=-x+ ln（16≤x≤24）值域為[+ ln，+ ln]
(2)要使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為1.5元/千克

試題分析：解: （1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln（16≤x≤24 ，t>0）。
t=-x+ ln（16≤x≤24）。         3分
t′=--<0，t是x的減函數。
t_min=-24+ ln=+ln=+ ln;         5分
t_max=-16+ ln=+ ln, 值域為[+ ln，+ ln]    7分
（2）由(1) t=-x+ ln（16≤x≤24）。
而x=20時，t=-20 + ln=1.5(元/千克)         9分
t是x的減函數。欲使x20，必須t1.5(元/千克)
要使市場平衡價格不高于每千克20元，政府補貼至少為1.5元/千克。  2分
點評:解決的關鍵是能利用導數的工具性作用來判定函數單調性，進而得到函數的最值，屬于中檔題，易錯點就是對于表達式的準確表示。