Question

已知函數f(x)＝e^x－kx²，x∈R.
(1)若k＝，求證：當x∈(0，＋∞)時，f(x)>1；
(2)若f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，試求k的取值范圍；
(3)求證：<e⁴(n∈N^*)．．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）見解析

(1)證明　f(x)＝e^x－x²，則h(x)＝f′(x)＝e^x－x，
∴h′(x)＝e^x－1>0(x>0)，∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∴f′(x)>f′(0)＝1>0.∴f(x)＝e^x－x²在(0，＋∞)上單調遞增，故f(x)>f(0)＝1.
(2)解　f′(x)＝e^x－2kx，求使f′(x)>0(x>0)恒成立的k的取值范圍．
若k≤0，顯然f′(x)>0，f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，當k>0時，記φ(x)＝e^x－2kx，則φ′(x)＝e^x－2k，當0<k<時，∵e^x>e⁰＝1，而2k<1，∴φ′(x)>0，則φ(x)在(0，＋∞)上單調遞增，于是f′(x)＝φ(x)>φ(0)＝1>0，∴f(x)在(0，＋∞)單調遞增；當k≥時，φ(x)＝e^x－2kx在(0，ln 2k)上單調遞減，在(ln 2k，＋∞)上單調遞增，于是f′(x)＝φ(x)＝φ(ln 2k)＝e^{ln 2k}－2kln 2k，由e^{ln 2k}－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，則≤k≤.綜上，k的取值范圍是.
(3)證明　由(1)知，對于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝e^x－x²>1，∴e^2x>2x²＋1，則ln (2x²＋1)<2x，
從而有ln < (n∈N^*)，
于是ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln <＋＋…＋<＋＋＋…＋＝2＋＝4－<4，故··…·<e⁴(n∈N^*)