Question

已知函數f(x)＝axln x圖象上點(e，f(e))處的切線與直線y＝2x平行，g(x)＝x²－tx－2.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)求函數f(x)在[n，n＋2](n>0)上的最小值；
(3)對一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)＝xln x  （2）－    (3) [－1，＋∞)

(1)由f(x)在點(e，f(e))處的切線方程與直線2x－y＝0平行，得該切線斜率為2，即f′(e)＝2.
又∵f′(x)＝a(ln x＋1)，∴a(ln e＋1)＝2，a＝1，
所以f(x)＝xln x.
(2)由(1)知f′(x)＝ln x＋1，顯然f′(x)＝0時，x＝e^－1，當x∈時，f′(x)<0，所以函數f(x)在上單調遞減，當x∈時f′(x)>0，所以函數f(x)在上單調遞增，①當∈(n，n＋2]時，f(x)_min＝f＝－；
②當≤n<n＋2時，函數f(x)在[n，n＋2]上單調遞增，因此f(x)_min＝f(n)＝nln n；
所以f(x)_min＝
(3)對一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，又g(x)＝x²－tx－2，∴3x ln x≥x²－tx－2，
即t≥x－3ln x－.設h(x)＝x－3ln x－，x∈(0，e]，則h′(x)＝1－＋＝，由h′(x)＝0得x＝1或2，∴x∈(0,1)，h′(x)>0，h(x)單調遞增，x∈(1,2)，h′(x)<0，h(x)單調遞減，x∈(2，e)，h′(x)>0，h(x)單調遞增，∴h(x)_極大值＝h(1)＝－1，且h(e)＝e－3－2e^－1<－1，所以h(x)_max＝h(1)＝－1.
因為對一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，
∴t≥h(x)_max＝－1.故實數t的取值范圍是[－1，＋∞)．