Question

已知函數f(x)=

3

x2

．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求曲線y=f（x）在點x=1處的切線方程；
（3）求曲線y=f（x），y=|x|所圍成的圖形的面積S．

Answer 1

分析：（1）求導函數，由導數的正負可得函數的單調區間；
（2）確定確定坐標與切線的斜率，可得切線方程；
（3）確定積分區間與被積函數，即可求得曲線y=f（x），y=|x|所圍成的圖形的面積S．

解答：解：（1）∵f(x)=

3	x2

=x

2

3

，∴f′(x)=

2

3

x-

1

3

解f'（x）＞0得x＞0，解f'（x）＜0得x＜0，
∴f（x）的單調增區間是（0，+∞），單調減區間是（-∞，0）
（注：也可以寫成閉區間[0，+∞）或（-∞，0]）…（4分）
（2）切點坐標是（1，1），且f′(1)=

2

3

，
∴y=f（x）在點x=1處的切線方程是y-1=

2

3

(x-1)
化簡得2x-3y+1=0…（9分）
（3）解

3	x2

=|x|得x=±1，0
由f(x)=

3	x2

的圖象特點得曲線y=f（x），y=|x|所圍成的圖形的面積是：
S=

∫

0 -1

(-x-x

2

3

)dx+

∫

1 0

(x

2

3

-x)dx=(-

x2

2

-

3

5

x

5

3

)

|

0 -1

+(

x2

2

+

3

5

x

5

3

)

|

1 0

=

11

5

．（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查切線方程，考查利用定積分求面積，綜合性強，屬于中檔題．