Question

已知函數，，且函數在點處的切線方程為.
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）設點，當時，直線的斜率恒小于，試求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）根據函數在點處的切線方程為，這一條件分離出兩個條件，然后根據這兩個條件列有關和的二元一次方程組，解出和的值進而確定函數的解析式；（Ⅱ）先將直線的斜率利用點的坐標表示，然后建立以為自變量的函數，對參數進行分類討論，即可求出參數的取值范圍；（Ⅲ）證明不等式，構造函數
，等價轉化為，借助極小值，但同時需要注意有些時候相應整體的代換.
試題解析：（Ⅰ），.   1分
函數在點處的切線方程為，
  即， 解得，   2分
.     3分
（Ⅱ）由、，得，
∴“當時，直線的斜率恒小于”當時，恒成立對恒成立.   4分
令，.
則，   5分
（ⅰ）當時，由，知恒成立，
∴在單調遞增，
∴，不滿足題意的要求.   6分
（ⅱ）當時，，，
，
∴當 ，；當，.
即