Question

已知函數
(1)求的值域；
(2)設，函數．若對任意，總存在，使，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1)  ；(2)

解析試題分析：（1）求出的導函數，令導函數等于求出 的值，然后由的值，分區間討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最大值和最小值即可得到的值域；（2）設函數在[0，2]上的值域是A，根據題意對任意，總存在，使，得到區間是A的子集，求出的導函數，分小于0和大于0兩種情況討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最大值和最小值，即可得到函數在相應區間的值域，根據區間[0，2]是A的子集判斷出符合這一條件的情況，列出關于的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意的取值范圍．
試題解析：（1），令，得或．         
當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞減，
而，當時，的值域是． 
(2)設函數在上的值域是A，
若對任意．總存在1,使，．                             
．
①當時，，函數在上單調遞減．        ，當時，不滿足；
②當時，，令，得或(舍去)   
（i）時，的變化如下表：

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