Question

已知函數在與時都取得極值.

（1）求的值及的極大值與極小值；

（2）若方程有三個互異的實根，求的取值范圍；

（3）若對，不等式恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1），當時，有極大值，當時，有極小值；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）因為函數在極值點處的導數等于0，所以若在與時都取得極值，則，解方程組可得到的值，再由導數的正負確定函數的單調性，最后可求得的極大值與極小值；（2）若方程有三個互異的實根，故曲線與有三個不同的交點，則極大值大于1，極小值小于1，從而可求的取值范圍；（3）對，不等式恒成立，只須，從中求解即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）

由已知有，解得 3分

，

由得或，由得 5分

列表如下

				1
	+	0	－	0	+
	遞增		遞減		遞增

所以，當時，有極大值，當時，有極小值 8分

（2）由于方程有三個互異的實根

故曲線與有三個不同交點 9分

由（1）可知此時有

解得 12分

（3）由（1）知，在上遞增，此時 14分

要滿足題意，只須

解得或 16分.

考點：1.函數的極值與導數；2.函數與方程；3.函數的最值與導數.