Question

已知函數(shù)
(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；
(2)求證函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；
(3)設(shè)，，且，求證：．

Answer 1

(1)； (2)詳見解析； (3)詳見解析

解析試題分析：(1) 先求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點的導(dǎo)數(shù)即為在此點處切線的斜率。從而可得的值。 (2) 先求導(dǎo)，證導(dǎo)數(shù)在 大于等于0恒成立。(3)因為，不妨設(shè)，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以可將問題轉(zhuǎn)化為，可整理變形為，設(shè)，因為且，只需證在上單調(diào)遞增即可。
試題解析：(1) = ()，()，
因為曲線在點處的切線與直線平行，
，解得。
(2)=()

所以函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；
(3)不妨設(shè)，則．
要證．
只需證, 即證．
只需證．設(shè)．
由(2)知在上是單調(diào)增函數(shù)，又，
所以．即 ，即．
所以不等式成立.
考點：1導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；3轉(zhuǎn)化思想。