Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，若對一切實數x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的導函數．
（I）求證：f（x）的圖象與x軸無交點；
（II）若方程f（x）-2f′（x）=0有兩上不同的實數根x₁，x₂，求證：|x1-x2|≤2

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Answer 1

分析：（I）由題意因為二次函數f（x）=ax²+bx+c，若對一切實數x，f（x）≥f′（x）恒成立，所以先求二次函數導函數，然后有二次函數求出恒成立時，f（x）的圖象與x軸無交點；
（II）先求出函數的導函數，因為方程f（x）-2f′（x）=0有兩上不同的實數根x₁，x₂，等價于對應的二次函數的判別式大于0，利用根與系數的關系即可．

解答：解：（I）∵f^′（x）=2ax+b  于是f（x）-f^′（x）=ax²+（b-2a）x+c-b
∵對于一切實數x，都有f（x）≥f^′（x）恒成立，
故a＞0且△₁=（b-2a）²-4a（c-b）=b²-4ac+4a²≤0，
于是b²-4ac-4a²＜0，
所以f（x）的圖象與x軸無交點．
（II）證明：∵f（x）-2f^′（x）=ax²+（b-4a）x+c-2b=0有兩個不同的實數根x₁，x₂，
故△₂=（b-4a）²-4a（c-2b）=b²-4ac+16a²＞0，從而-16＜

b2-4ac

a2

≤-4，
有根與系數的關系知：

x1+x2=- b-4a a x1•x2= c-2b a

，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

b2-4ac

a

+16，于是0＜|x₁-x₂|²≤12，
即|x₁-x₂|≤2

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點評：此題主要考查了二次函數，一元二次方程，一元二次不等式，導數的應用等基本知識，同時考查運算能力以及數形結合，函數思想等數學思想方法．