Question

21.我們在下面的表格內填寫數值：先將第1行的所有空格填上1；再把一個首項為1，公比為的數列依次填入第一列的空格內；然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則填寫其它空格.

	第1列	第2列	第3列	…	第列
第1行	1	1	1	…	1
第2行
第3行
…	…
第行

(1) 設第2行的數依次為，試用表示的值；

(2) 設第3列的數依次為，求證：對于任意非零實數，；

(3) 請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 (只能選擇一個問題，如果都選，被認為選擇了第一問）.

    ① 能否找到的值，使得(2) 中的數列的前項 () 成為等比數列？若能找到，m的值有多少個？若不能找到，說明理由.

    ② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數的前三項各自依次成等比數列？并說明理由.

Answer 1

[解] (1) ，

所以 .   

(2) ，，

，   

由 ，

得 .   

(3) ①先設成等比數列，由，得 ， .

此時 ，，

所以是一個公比為的等比數列.   

如果，為等比數列，那么一定是等比數列.

由上所述，此時，，，，… 由于，

因此，對于任意，一定不是等比數列.   

綜上所述，當且僅當且時，數列是等比數列

② 設和分別為第列和第列的前三項，，

則，

若第列的前三項是等比數列，則由，得

，

， .   

同理，若第列的前三項是等比數列，則.

當時，.

所以，無論怎樣的，都不能同時找到兩列數 (除第1列外)，使它們的前三項都成等比數列.