在
中，滿足
,
是
邊上的一點.
（Ⅰ）若
,求向量
與向量
夾角的正弦值；
（Ⅱ）若
，
=m
(m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求
值；
（Ⅲ）若
且
求
的最小值。
（Ⅰ）
；
(Ⅱ)（1）當
時，則
=
；
（2）當
時，則
=
；
（Ⅲ）
.
【解析】
（Ⅰ）
，
可得
,
是等腰直角三角形，令
=
；
（Ⅱ），
，
,
利用30°的直角三角形的性質令=m所以
，
，
是
邊上的三等分點.分類討論：或；
（Ⅲ）注意到
，是解題的關鍵，
，求
通常用平方的方法。
（Ⅰ）解：設向量
與向量
的夾角為
，則
令=，得
，又
，則為所求……………2分
(Ⅱ)解：因為，=m所以，
（1）當時，則
=；--2分
（2）當時，則
=；---2分
（Ⅲ）解：設,因為
，
；
所以
即
于是
得
從而
---2分
=
=
=
…………………………………2分
令
，
則
，則函數
，在
遞減，在
上遞增，所以
從而當
時，………………2分
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源：2013-2014學年浙江省建人高復高三上學期第二次月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在
中，滿足：
，
是
的中點．
（1）若
，求向量
與向量
的夾角的余弦值；
（2）若點
是邊上一點，
,且
，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源：2012學年浙江省杭州七校高一第二學期期中聯(lián)考數學試卷（解析版） 題型：解答題
在
中，滿足
,
是
邊上的一點.
（Ⅰ）若
,求向量
與向量
夾角的正弦值；
（Ⅱ）若
，
=m (m為正常數) 且是邊上的三等分點.，求
值；
（Ⅲ）若
且
求
的最小值。
【解析】第一問中，利用向量的數量積設向量與向量的夾角為
，則
令=
，得
，又
，則
為所求
第二問因為，=m所以
，
（1）當
時，則
=
（2）當
時，則
=
第三問中，解：設
,因為
，；
所以
即
于是
得
從而
運用三角函數求解。
（Ⅰ）解：設向量與向量的夾角為，則
令=，得，又，則為所求……………2分
(Ⅱ)解：因為，=m所以，
（1）當時，則
=；-2分
（2）當時，則=；--2分
（Ⅲ）解：設,因為，；
所以即于是得
從而---2分
=
=
=
…………………………………2分
令
，
則
，則函數
，在
遞減，在
上遞增，所以
從而當
時，
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科目：高中數學 來源：2013屆江蘇無錫市高二第二學期期中文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在
中，滿足
,
是
中點.
（1）若
,求向量
與向量
的夾角的余弦值；
（2）若
是線段
上任意一點，且
，求
的最小值；
（3）若點
是邊上一點，且
,
，
,求
的最小值.
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中,設
是
邊上的一點,且滿足
,
,則
的值為（ ）
