Question

已知函數，其中N*，aR，e是自然對數的底數．
(1)求函數的零點；
(2)若對任意N*，均有兩個極值點，一個在區間(1，4)內，另一個在區間[1，4]外，求a的取值范圍；
(3)已知k，mN*，k<m，且函數在R上是單調函數，探究函數的單調性．

Answer 1

（1）①當時，函數有一個零點： 
②當時，函數有兩個零點： 
③當時，函數有兩個零點：
④當時，函數有三個零點：
 
（2）的取值范圍是 
（3）函數在上是減函數.

解析試題分析：（1）整理得，
故只需討論的判別式取值情況，確定函數的零點.
（2）由于
所以重點討論，的圖像是開口向下的拋物線.
由題意對任意,即，討論求解.
（3）由(2)知, 存在，又函數在上是單調函數，故函數在上是單調減函數.
試題解析：（1），
設,
①當時，函數有一個零點：         1分
②當時，函數有兩個零點：     2分
③當時，函數有兩個零點：     3分
④當時，函數有三個零點：
                4分
（2）  5分
設，的圖像是開口向下的拋物線.
由題意對任意有兩個不等實數根，
且
則對任意,即,                     7分
又任意關于遞增,,
故
所以的取值范圍是                       9分
（3）由(2)知, 存在，又函數在上是單調函數，故函數在上是單調減函數,          10分
從而即   11分
所以
由知                    13分
即對任意