Question

已知{a_n}是遞增數列，其前n項和為S_n，a₁＞1，且10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立？若存在，寫出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設b_n=a_n-

n-3

2

，c_n=

2(n+3)an

5n-1

，若對于任意的n∈N^*，不等式

5 m

31(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

1

cn+1+n-1

≤0恒成立，求正整數m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1代入10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），求得a₁的值，根據an=

s1    n=1 sn-sn-1 n≥2

，轉化為等差數列，可以求得數列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）假設存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立，代入數列{a_n}的通項a_n，經過分析得出矛盾，可以得到不存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立，
（Ⅲ）把數列{a_n}的通項a_n代入b_n=a_n-

n-3

2

，c_n=

2(n+3)an

5n-1

，分離參數，轉化為求某個數列的最值問題．

解答：解：（Ⅰ）∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+3），
∴10a₁=（2a₁+1）（a₁+2），得2a₁²-5a₁+2=0，
解得a₁=2，或a1=

1

2

．
由于a₁＞1，所以a₁=2．
∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+3），∴10S_n=2a_n²+5a_n+2．
故10a_n+1=10S_n+1-10S_n=2a_n+1²+5a_n+1+2-2a_n²-5a_n-2，
整理，得2（a_n+1²-a_n²）-5（a_n+1+a_n）=0，
即（a_n+1+a_n）[2（a_n+1-a_n）-5]=0．
因為{a_n}是遞增數列，且a₁=2，故a_n+1+a_n≠0，
因此an+1-an=

5

2

．
則數列{a_n}是以2為首項，

5

2

為公差的等差數列．
所以an=2+

5

2

(n-1)=

1

2

(5n-1)．

（Ⅱ）滿足條件的正整數m，n，k不存在，證明如下：
假設存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_t，
則5m-1+5n-1=

1

2

（5k-1）．
整理，得2m+2n-k=

3

5

，①
顯然，左邊為整數，所以①式不成立．
故滿足條件的正整數m，n，k不存在．

（Ⅲ）b_n=a_n-

n-3

2

=

1

2

(5n-1)-

n-3

2

=2n+1，
c_n=

2(n+3)an

5n-1

=

2(n+3)

5n-1

•

5n-1

2

=n+3．
不等式

5 m

31(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

1

cn+1+n-1

≤0
可轉化為

5 m

31

≤

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

cn+1+n-1

=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•

b3+1

b3

…

bn+1

bn

•

1

cn+1+n-1

=

4

3

•

6

5

•

8

7

…

2n+2

2n+1

•

1

2n+3

．
設f（n）=

4

3

•

6

5

•

8

7

…

2n+2

2n+1

•

1

2n+3

，
則

f(n+1)

f(n)

=

4 3 • 6 5 • 8 7 … 2n+2 2n+1 • 2n+4 2n+3 - 1 2n+35

4 3 • 6 5 • 8 7 … 2n+2 2n+1 • 1 2n+3

=

2n+4

2n+3

•

2n+3

2n+5

=

2n+4

(2n+3)(2n+5)

=

2n+4

4n2+16n+15

＞

2n+4

4n2+16n+16

=

2n+4

(2n+4)2

=

2n+4

2n+4

=1．
所以f（n+1）＞f（n），即當n增大時，f（n）也增大．
要使不等式

5 m

31(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

-

1

cn+1+n-1

≤0
對于任意的n∈N^*恒成立，只需

5 m

31

≤f（n）_min即可．
因為f（b）_min=f（1）=

4

3

•

1

5

=

4 5

15

，所以

5 m

31

≤

4 5

15

，
即m≤

4×31

15

=

124

15

=8

4

15

．
所以，正整數m的最大值為8．

點評：此題是個難題．考查根據an=

s1    n=1 sn-sn-1 n≥2

求數列通項公式，體現了分類討論的思想．特別是（2）是個開放性的題目，解決策略一般假設存在，由假設出發，經過推理論證得到矛盾，（3）的設置，增加了題目的難度，對于恒成立問題，一般采取分離參數的方法，轉化為求最值問題，體現 轉化的思想．并根據數列的單調性求數列的最值．