Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件 

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，則

1

a2

+

1

b2

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：作出不等式組的可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形，作出直線(xiàn)由圖判斷出當(dāng)直線(xiàn)平移至點(diǎn)A時(shí)z最大，列出方程求出ab的值，利用基本不等式求出

1

a2

+

1

b2

最小值．

解答：解：畫(huà)出不等式組

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

的可行域
將z=abx+y變形為y=-abx+z，
由圖知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)A點(diǎn)時(shí)縱截距最大，z最大
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

得（1，4）代入目標(biāo)函數(shù)，最大值為ab+4
所以ab+4=8
所以ab=4
∴

1

a2

+

1

b2

≥2

1 ab

=1
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)
故答案為1

點(diǎn)評(píng)：利用線(xiàn)性規(guī)劃求函數(shù)的最值關(guān)鍵是給目標(biāo)函數(shù)幾何意義；利用基本不等式求函數(shù)的最值一定要注意滿(mǎn)足的條件：一正、二定、三相等．