Question

已知f（x）=4|x|³-2a|x|．
（1）設f（x）圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程是2x+y+b=0，求b的值．
（2）是否存在實數a，使得函數在[-1，1]內的最小值為-2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把f（x）化為分段函數，由x＜0時可得f′（x），根據f′（-1）=-2可得a，從而得f（-1），由點（-1，-6）在直線y+2x+b=0上可得b；
（2）易知f（x）是偶函數，f（x）在[-1，1]內的最小值為-2充要條件是f（x）在[0，1]內的最小值為-2，當x∈[0，1]時，f（x）=4x³-2ax，利用導數可求f（x）在[0，1]內的最小值，令其為-2解出a驗證條件即可，注意分類討論；

解答：解：（1）f（x）=4|x|³-2a|x|=

4x3-2ax，x≥0 -4x3+2ax，x＜0

，
當x＜0時，f'（x）=-12x²+2a，
∵x=-1時，切線的斜率是-2，∴f'（-1）=-2，即-12+2a=-2，a=5，
此時f（-1）=4-10=-6，點（-1，-6）在直線y+2x+b=0上，
∴b=8；
（2）∵f（x）是偶函數，f（x）在[-1，1]內的最小值為-2充要條件是f（x）在[0，1]內的最小值為-2，
當x∈[0，1]時，f（x）=4x³-2ax，f'（x）=12x²-2a，
令f’（x）=0，則x=±

a 6

(a≥0)，
①當

a 6

≥1，即a≥6，x∈[0，1]時，f’（x）＜0，f（x）在[0，1]上是減函數，其最小值為f（1），令f（1）=-2，4-2a=-2，a=3，不合題意舍去．
②當0＜

a 6

＜1，即0＜a＜6時，

x	0	（0， a 6 ）	a 6	（ a 6 ，1）	1
f（x）		-	0	+
f’（x）	0	↓	取極小值	↑	4-2a

f（x）在[0，1]的最小值為f（

a 6

），
令f（

a 6

）=-2，即4（

a 6

）³-2a

a 6

=-2，
解之得：a=

3

3 2

=

3 3 4

2

∈[0，6]，
∴存在實數a=

3 3 4

2

，使得函數在[-1，1]內的最小值為-2．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數求函數的最值，考查轉化思想，考查學生分析問題解決問題的能力．