Question

已知直線x+ky-3=0所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8，
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證：當點P(m，n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得弦長L的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由x+ky-3=0，得（x-3）+ky=0，所以直線過定點(3，0)，即F(3，0)，
設橢圓C的方程為，
則，解得，
所以橢圓C的方程為。
(2)因為點P(m，n)在橢圓C上運動，所以，
從而圓心O到直線l：mx+ny=1的距離為，
所以直線l與圓O恒相交，
又直線l被圓O截得的弦長為
，
由于0≤m²≤25，所以，則L∈，
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是。