Question

(本小題滿分12分)
如圖，已知直平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中點，A₁D⊥BE．
（I）求證：A₁D⊥平面BDE；
（II）求二面角B―DE―C的大小；

Answer 1

arctan

（1）∵AA₁⊥面ABCD，∴AA₁⊥BD，又BD⊥AD，
∴BD⊥A₁D        -------------------3分
又A₁D⊥BE，
∴A₁D⊥平面BDE  ------------------- 5分
(2)連B₁C，則B₁C⊥BE，易證RtΔCBE∽RtΔCBB₁，
∴=，又E為CC₁中點，∴BB₁²=BC²=a²，
∴BB₁=a           ……………………………………………………………………7分
取CD中點M，連BM，則BM⊥平面CD₁，作MN⊥DE于N，連NB，則∠BNM是二面角B―DE―C的平面角  ……………………………………………………………………9分
RtΔCED中，易求得MN=，RtΔBMN中，tan∠BNM==，∴∠BNM=arctan
……………………………………………………………………………………………12分
(2)另解：以D為坐標原點，DA為x軸、DB為y軸、DD₁為z軸建立空間直角坐標系，則B(0,a,0)，設A₁(a,0,x)，E(-a,a,)，=(-a,0,-x)，=(-a,0,)，∵A₁D⊥BE
∴a²-x²=0，x²=2a²，x=a，即BB₁=a.