Question

已知函數 f(x)=

log2x  (x＞0) 3x      (x≤0)

，直線y=a與函數f（x）的圖象恒有兩個不同的交點，則a的取值范圍是

（0，1]

．

Answer 1

分析：根據題意可得：當x＞0時，f（x）=log₂x；當x≤0時，函數f（x）=3^x，即可結合對數、指數函數的性質畫出函數的圖象，進而根據數形結合與轉化化歸的思想方法把方程有解問題轉化為與直線y=a的交點問題，即可求出a的取值范圍．

解答：解：因為函數 f(x)=

log2x  (x＞0) 3x      (x≤0)

，
所以當x＞0時，f（x）=log₂x；當x≤0時，函數f（x）=3^x，
所以根據對數、指數函數的圖象可得函數f（x）的圖象，如圖所示：
因為函數與直線y=a有且僅有兩個不同的交點，
所以結合圖象可得：0＜a≤1．
故答案為：（0，1]．

點評：本題主要考查正弦函數的圖象與有關性質，以及考查分類討論、數形結合、轉化化歸的思想方法，考查學生的分析問題解決問題的能力，此題屬于中檔題．