Question

已知函數,其中    

（1）      當滿足什么條件時,取得極值?

（2）      已知,且在區間上單調遞增,試用表示出的取值范圍.

Answer 1

解析:  (1)由已知得,令,得,

要取得極值,方程必須有解,

所以△,即,   此時方程的根為

,,

所以  

當時,

x	(-∞,x1)	x 1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

當時,

x	(-∞,x2)	x 2	(x2,x1)	x1	(x1,+∞)
f’(x)	－	0	＋	0	－
f (x)	減函數	極小值	增函數	極大值	減函數

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

綜上,當滿足時, 取得極值.   

(2)要使在區間上單調遞增,需使在上恒成立.

即恒成立,  所以

設,,

令得或(舍去), 

當時,,當時,單調增函數;

當時,單調減函數,

所以當時,取得最大,最大值為.

所以

當時,,此時在區間恒成立,所以在區間上單調遞增,當時最大,最大值為,所以

綜上,當時, ;    當時,    

【命題立意】:本題為三次函數,利用求導的方法研究函數的極值、單調性和函數的最值,函數在區間上為單調函數,則導函數在該區間上的符號確定,從而轉為不等式恒成立,再轉為函數研究最值.運用函數與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.