Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，且，.

（1）設點是上任一點，試求的最小值；
（2）求證：、在以為直徑的圓上；
（3）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）將側面和側面沿著展開至同一平面上，利用、、三點共線結合余弦定理求出的最小值，即線段的長度；（2）證平面，從而得到，同理得到，進而證明、在以為直徑的圓上；（3）方法一是建立以點為坐標原點，分別以、、所在的直線為、、軸的空間直角坐標系，利用空間向量法求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；方法二是延長與使得它們相交，找出二面角的棱，然后利用三垂線法找出平面與平面所成的銳二面角的平面角，利用直角三角函數來求相應角的余弦值.
試題解析：（1）將側面繞側棱旋轉到與側面在同一平面內，如下圖示，

則當、、三點共線時，取最小值，這時，的最小值即線段的長，
設，則，
在中，，，
在三角形中，有余弦定理得：
，
，
（2）底面，，又
平面，又平面，，
又，平面，
又平面，，
同理，、在以為直徑的圓上；
（3）方法一：如圖，以為原點，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標系如下圖示，則，，由（1）可得，，平面，
為平面的一個法向量，
為平面的一個法向量，
設平面與平面所成的銳二面角的平面角為，
則，
平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
方法二： 由可知，故，
又面，
面，面，
設平面平面，平面，，
，，
又，平面，又平面，
，，
為平面與平面所成的銳二面角的一個平面角，

，
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.