Question

設t≠0，點P(t,0)是函數f(x)=x³+ax與g(x)=bx²+c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.

（1）用t表示a，b，c；

（2）若函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減，求t的取值范圍.

Answer 1

思路點撥：本題利用導數的幾何意義以及兩個函數的圖象有公共點，從而這個公共點的坐標適合這兩個函數的解析式，由此將問題解決.

解：（1）因為函數f(x)，g(x)的圖象都過點（t，0），所以f(t)=0，即t³+at=0.因為t≠0,所以a=-t².g(t)=0，即bt²+c=0，故c=ab.又因為f(x)，g(x)在點（t，0）處有相同的切線，所以f′(t)=g′(t)，而f′(x)=3x²+a，g′(x)=2bx，所以3t²+a=2bt，將a=-t²代入上式得b=t.因此c=ab=-t³，故a=-t²，b=t，c=-t³.

（2）y=f(x)-g(x)=x³-t²x-tx²+t³,y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t),而函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減，且y′=(3x+t)(x-t)是x∈(-1,3)上的拋物線，所以即

    解得t≤-9或t≥3.

    所以t的取值范圍為(-∞,-9］∪［3,+∞).

[一通百通]對于有關求曲線的切線方程問題，要充分利用導數的幾何意義來求解.注意求一條曲線在某點處的切線與過某點的切線的差異，否則容易出錯.