Question

已知角α為銳角．
（1）若sinα=

3

5

，求sin(α-

π

4

)的值；
（2）若cos(α+β)=

5

13

，sin(α-β)=-

5

13

，其中0＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜

π

2

，求sin2β的值．

Answer 1

分析：（1）由α為銳角，根據sinα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（2）根據cos（α+β）與sin（α-β）的值，以及α+β與α-β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α+β）與cos（α-β）的值，所求式子中的角2β變形為（α+β）-（α-β），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵α為銳角，sinα=

3

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，
則sin（α-

π

4

）=

2

2

（sinα-cosα）=-

2

10

；
（2）∵cos（α+β）=

5

13

，sin（α-β）=-

5

13

，0＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
∴sin（α+β）=

12

13

，cos（α-β）=

12

13

，
則sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）=

12

13

×

12

13

+

5

13

×

5

13

=1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．