Question

已知冪函數y=x^3m-9（m∈N^*）的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上函數值隨x的增大而減小，求滿足（a+1）＜（3-2a）的a的范圍．

Answer 1

解∵函數在（0，+∞）上遞減，
∴3m-9＜0，解得m＜3，又m∈N^*，∴m=1，2．
又函數圖象關于y軸對稱，
∴3m-9為偶數，故m=1，
∴
又∵y=在（-∞，0），（0，+∞）上均遞減，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a
或a+1＜0＜3-2a，
解得＜a＜或a＜-1．
故a的取值范圍是＜a＜或a＜-1．
分析：利用冪函數在（0，+∞）上是減函數判斷出指數小于0，由圖象關于y軸對稱得到指數是偶數，求出m的值；利用冪函數的單調性將不等式轉化為一次不等式，求出解集．
點評：本題考查冪函數的性質：冪函數奇、偶性與冪指數有關、冪函數的單調性與冪指數有關．