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在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)求證：數列{an－n}是等比數列；

(2)求數列{an}的前n項和Sn；

(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

 

（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】(1)證明：由題設an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以數列{an－n}是首項為1，公比為4的等比數列．

(2)【解析】
由(1)可知an－n＝4n－1，于是數列{an}的通項公式為an＝4n－1＋n，所以數列{an}的前n項和Sn＝.

(3)證明：對任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＝－ (3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第八章第1課時練習卷（解析版） 題型：解答題

如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥=AD，BE∥=FA，G、H分別為FA、FD的中點．

(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形．

(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第五章第4課時練習卷（解析版） 題型：解答題

已知數列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數n，點Pn(n，Sn)都在函數f(x)＝x2＋2x的圖象上，且在點Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若bn＝2knan，求數列{bn}的前n項和Tn.

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第五章第3課時練習卷（解析版） 題型：解答題

已知數列{an}的首項a1＝2a＋1(a是常數，且a≠－1)，

an＝2an－1＋n2－4n＋2(n≥2)，數列{bn}的首項b1＝a，

bn＝an＋n2(n≥2)．

(1)證明：{bn}從第2項起是以2為公比的等比數列；

(2)設Sn為數列{bn}的前n項和，且{Sn}是等比數列，求實數a的值；

(3)當a>0時，求數列{an}的最小項．

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第五章第3課時練習卷（解析版） 題型：填空題

已知數列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項和為________．

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第五章第3課時練習卷（解析版） 題型：填空題

等比數列{an}中，a1>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，則a3＋a5＝________．

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第五章第2課時練習卷（解析版） 題型：填空題

設等差數列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝________．

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第五章第1課時練習卷（解析版） 題型：解答題

若數列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數列{an}為“凸數列”．

(1)設數列{an}為“凸數列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫出該數列的前6項，并求出前6項之和；

(2)在“凸數列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；

(3)設a1＝a，a2＝b，若數列{an}為“凸數列”，求數列前2011項和S2011.

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年高考數學總復習考點引領+技巧點撥第二章第8課時練習卷（解析版） 題型：解答題

設a＞0，f(x)＝是R上的偶函數．

(1)求a的值；

(2)判斷并證明函數f(x)在[0，＋∞)上的單調性；

(3)求函數的值域．

 

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