Question

設a＞0，f(x)＝是R上的偶函數．

(1)求a的值；

(2)判斷并證明函數f(x)在[0，＋∞)上的單調性；

(3)求函數的值域．

 

Answer 1

（1）a＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上為增函數（3）[2，＋∞)

【解析】(1)因為f(x)為偶函數，故f(1)＝f(－1)，

于是＝＋3a，即.因為a＞0，故a＝1.

(2)設x2＞x1≥0，f(x1)－f(x2)＝(3x2－3x1)(－1)．

因為3x為增函數，且x2＞x1，

故3x2－3x1＞0.因為x2＞0，x1≥0，故x2＋x1＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上為增函數．

(3)因為函數為偶函數，且f(x)在[0，＋∞)上為增函數，故f(0)＝2為函數的最小值，于是函數的值域為[2，＋∞)．