Question

（2012•上高縣模擬）已知雙曲線C1：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2，若拋物線C2：x2=2py(p＞0)的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，若A、B是C₂上兩點且OA⊥OB，則直線AB與y軸的交點的縱坐標為（　　）

• A．

  8 3

  3

• B．16
• C．8
• D．

  16 3

  3

Answer 1

分析：拋物線焦點為F（0，

p

2

），由e=

c

a

=2，拋物線焦點至雙曲線一漸近線距離d=

|0- p 2 |

1+3

=2，推導出拋物線方程為：x²=±16y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

⊥

OB

，得到x₁x₂=-256，y₁y₂=256．設AB方程為：y=kx+m，根據韋達定理，x₁x₂=-16m，從而得到m=16，由此能求出直線AB與y軸的交點的縱坐標．

解答：解：拋物線焦點為F（0，

p

2

），
e=

c

a

=2，
∴c=2a，
b=

c2-a2

=

3

a，
雙曲線一漸近線方程為：y=

bx

a

=

3

x，

3

x-y=0，
∵拋物線焦點至雙曲線一漸近線距離d=

|0- p 2 |

1+3

=2，
∴p=±8，
∴拋物線方程為：x²=±16y，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x 2 ，y₂），
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵x12=16y₁，x22=16y₂，
∴x₁x₂+

x12

16

•

x22

16

=0，
∴x₁x₂=-256，①
y₁y₂=256，②
設AB方程為：y=kx+m，
x²=±16（kx+m），
x²±16kx-16m=0，
根據韋達定理，x₁x₂=-16m，
由①式得：-256=-16m，
∴m=16，
由直線方程x=kx+m可知，m是直線在y軸的截距，即是交點的縱坐標，
∴直線AB與y軸的交點的縱坐標為16，
故選B．

點評：本題考查直線與y軸交點的縱坐標的求法，具體涉及到雙曲線、拋物線、韋達定理、點到直線的距離公式等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．