（07年湖南卷理）（13分）
已知
（
）是曲線
上的點，
，
是數列
的前
項和，且滿足
，
，
…．
（I）證明：數列
（
）是常數數列；
（II）確定
的取值集合
，使
時，數列是單調遞增數列；
（III）證明：當時，弦
（）的斜率隨單調遞增．
解析：（I）當
時，由已知得
．
因為
，所以
． …… ①
于是
． ……②
由②－①得
． …… ③
于是
． …… ④
由④－③得
， …… ⑤
所以
，即數列
是常數數列．
（II）由①有
，所以
．由③有
，
，
所以
，
．
而 ⑤表明：數列
和
分別是以
，
為首項，6為公差的等差數列，
所以
，
，
，
數列
是單調遞增數列
且
對任意的
成立．
且
．
即所求
的取值集合是
．
（III）解法一：弦
的斜率為
任取
，設函數
，則
記
，則
，
當
時，
，
在
上為增函數，
當
時，
，在
上為減函數，
所以
時，
，從而
，
所以
在和上都是增函數．
由（II）知，
時，數列單調遞增，
取
，因為
，所以
．
取
，因為，所以
．
所以
，即弦
的斜率隨
單調遞增．
解法二：設函數
，同解法一得，
在
和
上都是增函數，
所以
，
．
故，即弦的斜率隨單調遞增．
科目：高中數學 來源： 題型：
（07年湖南卷理）（12分）
某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業能力.每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%.假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇
相互之間沒有影響．
（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；
（II）任選3名下崗人員，記
為3人中參加過培訓的人數，求的分布列和期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
（07年湖南卷理）（12分）
已知雙曲線
的左、右焦點分別為
，
，過點的動直線與雙曲線相交于
兩點．
（I）若動點
滿足
（其中
為坐標原點），求點的軌跡方程；
（II）在
軸上是否存在定點
，使
?
為常數？若存在，求出點的坐標；
若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
（07年湖南卷理）（13分）
已知
（
）是曲線
上的點，
，
是數列
的前
項和，且滿足
，
，
…．
（I）證明：數列
（
）是常數數列；
（II）確定
的取值集合
，使
時，數列是單調遞增數列；
（III）證明：當時，弦
（）的斜率隨單調遞增．
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，
．
是函數
圖象的一條對稱軸，求
的值．
的單調遞增區間．