Question

已知（+2x）ⁿ．
（1）若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大的項的系數；
（2）若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項．

Answer 1

【答案】分析：（1）第k+1項的二項式系數為C_n^k，由題意可得關于n的方程，求出n．
而二項式系數最大的項為中間項，n為奇數時，中間兩項二項式系數相等；n為偶數時，中間只有一項．
（2）由展開式前三項的二項式系數和等于79，可得關于n的方程，求出n．
而求展開式中系數最大的項時，可通過解不等式組求得，假設T_k+1項的系數最大，T_k+1項的系數為r_k，則有
解答：解：（1）∵C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
∴n²-21n+98=0，
∴n=7或n=14．
當n=7時，展開式中二項式系數最大的項是T₄和T₅，
∴T₄的系數=C₇³（）⁴2³=，
T₅的系數=C₇⁴（）³2⁴=70．
當n=14時，展開式中二項式系數最大的項是T₈．
∴T₈的系數=C₁₄⁷（）⁷2⁷=3432．
（2）由C_n+C_n¹+C_n²=79，可得n=12，設T_k+1項的系數最大．
∵（+2x）¹²=（）¹²（1+4x）¹²，
∴
∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展開式中系數最大的項為T₁₁．
T₁₁=（）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
點評：本題考查二項展開式中二項式系數和與系數和問題，難度較大，易出錯．要正確區分這兩個概念．