Question

（2011•東城區二模）已知sin(A+

π

4

)=

7 2

10

，A∈(

π

4

，

π

2

)．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函數f(x)=cos2x+

5

2

sinAsinx的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用同角三角函數基本關系式求cos(A+

π

4

)，注意對角的范圍的判斷，再利用兩角差的余弦公式將cosA變換為cos[(A+

π

4

)-

π

4

]，代入計算即可
（Ⅱ）先將所求函數變換為復合函數f（x）=1-2sin²x+2sinx，再利用三角函數的有界性及配方法求此復合函數的值域即可

解答：解：（Ⅰ）因為

π

4

＜A＜

π

2

，且sin(A+

π

4

)=

7 2

10

，
所以

π

2

＜A+

π

4

＜

3π

4

，cos(A+

π

4

)=-

2

10

．
因為cosA=cos[(A+

π

4

)-

π

4

]=cos(A+

π

4

)cos

π

4

+sin(A+

π

4

)sin

π

4

=-

2

10

•

2

2

+

7 2

10

•

2

2

=

3

5

．
所以cosA=

3

5

．                 
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA=

4

5

．
所以f(x)=cos2x+

5

2

sinAsinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，x∈R．
因為sinx∈[-1，1]，所以，當sinx=

1

2

時，f（x）取最大值

3

2

；
當sinx=-1時，f（x）取最小值-3．
所以函數f（x）的值域為[-3，

3

2

]．

點評：本題考察了同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦公式，通過角變換求三角函數值的技巧，復合函數求值域的方法