Question

已知函數。
(1)若的單調減區間是,求實數a的值;
(2)若函數在區間上都為單調函數且它們的單調性相同，求實數a的取值范圍；
(3)a、b是函數的兩個極值點，a<b，。求證：對任意的，不等式成立．

Answer 1

(1) (2)  (3)略

試題分析：(1)由題得，以及的單調減區間,解得 ;
(2)函數在區間上都為單調函數且它們的單調性相同,轉化為不等式恒成立的問題．
(3)由 
又∵有兩個不相等的正跟a,b且a<b, ,得 , 即在上單調遞減,

設, 求得 再利用單調性即可．
(1) 由題得,
要使的單調減區間是則,解得 ;           (2分)
另一方面當時,
由解得,即的單調減區間是．
綜上所述．                  (4分)
(2), 函數在區間上都為單調函數且它們的單調性相同,
∴, ∴            (6分)
∵,又
∴                    (8分)
(3)∵ 
又∵有兩個不相等的正跟a,b且a<b, ,∴ 
∴當時, , 即在上單調遞減,∴    (10分)
則對任意的,

設, 則 
當時, ∴在上單增, ∴, ∴也在上單增,  (12分)
∴
∴不等式對任意的成立．           (14分)